Cuando en The Big Bang Theory alguien habla de física, tiene todas las papeletas de ser algo cierto.  Eso se debe a que, como ya dije en su momento, esa serie cuenta con un asesoramiento científico serio: un profesor de Física de la UCLA es el encargado de revisar las «sheldonadas» y escribir las pizarras que vemos al fondo.

Otras series y películas no tienen tanta suerte.  A los directores, parece que les basta con que alguien suelte de vez en cuando una parrafada con palabros raros como genética, cuántica, microondas o espacio profundo. Una de mis favoritas es eso del «continuo espacio-tiempo;» lo que considero una chorrada total.  Para empezar, el espacio y el tiempo son cuatro dimensiones del espaciotiempo, vale; pero eso ya lo dijo Einstein hace un siglo, y seguir repitiéndolo hoy día en el cine es tan ranciofact como hablar de «nuevas tecnologías» para referirse al PC.  Y en segundo lugar, según la Mecánica Cuántica, el espaciotiempo no es continuo.

Pero últimamente hay un palabro que se repite más que el ajo.  No solamente lo oímos en cine y televisión, sino que se usa de forma cada vez más indiscriminada en la prensa y en otras actividades humanas.  Me refiero a la expresión crecimiento exponencial.  Sea en la nueva versión de Ultimátum a la Tierra o en las declaraciones de según qué Ministra, el término «crecimiento exponencial» se está convirtiendo en un sinónimo de «esto crece que te cagas.»

Sin embargo, aunque algo de eso hay, el crecimiento exponencial es un concepto matemático muy concreto.  Hay muchas funciones que crecen, pero la exponencial se lleva la palma.  Se trata, sencillamente, de una función potencial (como 2^x) pero donde la base es el llamado número e = 2,7182818…  Es decir, cuando se dice que «x aumenta exponencialmente» significa que su crecimiento con el tiempo es del tipo:

x(t) = Xo * e^(at)

donde Xo es el valor de x cuando t=0, y a es un factor constante que indica la rapidez de crecimiento.  El motivo de utilizar el exponente e en la base es porque así la función cumple algunas propiedades interesantes.

Veamos un ejemplo.  Cuenta una vieja historia que un viejo sabio enseñó el juego que hoy conocemos como ajedrez a un rey indio.  Éste, maravillado, le dijo al sabio que escogiese la recompensa que desease.  El sabio dijo: dame un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente.  El rey, que tenía trigo para dar y regalar, accedió encantado, pensando que el sabio no era tan sabio si se conformaba con unos sacos de trigo en lugar de pedirle tesoros como oro o joyas.

¡Ingenuo!  Sea X(n) la cantidad de granos correspondiente a la casilla número n.  Esta función podemos escribirla como X(n) = 2^(n-1) = e^[(n-1)*Ln2], donde Ln2 (=0,6931…) es el logaritmo neperiano de 2.  Es decir, X(n) es una función de tipo exponencial, con a=Ln2 y Xo=1.  Vamos a ver cuál es el botín del sabio.  Las primeras casillas tienen números de granos discretos: X(1)=1, X(2)=2, X(3)=4, X(4)=8, X(5)=16. Al final de la primera fila (n=8) tenemos 256 granos, que no parece mucho.  Sin embargo, conforme el número de granos aumenta, la cantidad de trigo crece muy rápidamente.  Al final de la segunda fila (n=16), tenemos 65.536 granos de trigo, que son más o menos un par de kilos.  Tras la tercera fila (n=24), hablaremos de casi 17 millones de granos, una media tonelada.  Cuarta fila (n=32), y la superamos los cuatro mil millones de granos (una 10 toneladas).  Y apenas hemos llegado a la mitad del tablero. Al final, la casilla 64 representa un total de algo más de nueve trillones de granos, una cantidad 500 veces superior a la producción mundial de trigo en 2003 (según mi atlas del National Geographic).  ¿Quién es el listo ahora, rey?

En general, la función exponencial x(t) cumple una función interesante: la rapidez con la que aumenta x es proporcional al propio valor de x: si tenemos un mogollón de granos de trigos en la casilla n, la n+1 tendrá dos mogollones de granos.  También nos sirve para ver la rapidez con la que disminuye una función, porque x(t) = Xo * e^(-at) es también una exponencial, aunque decreciente.  La exponencial decreciente permite describir, por ejemplo, la desintegración de sustancias radiactivas.  Ya comenté algo en mi post Vida media, señor Bond.  La idea es que, ahora, las cantidades decrecen con la misma rapidez con que antes crecían.  Digamos que tenemos una muestra con isótopos radiactivos, con No (N sub cero, no la palabra «no») partículas en el instante t=0.  No sabemos cuánto va a tardar en desintegrarse un isótopo en particular, pero la Mecánica Cuántica nos dice que, pasado un cierto tiempo T, solamente nos quedará la mitad; tras otro intervalo T, nos quedará la mitad de la mitad, y así sucesivamente.  En este caso, la fórmula que nos da el número de isótopos en función del tiempo vendrá dado por

N(t) = No * 2^(-t/T)

donde en este caso hemos hecho a=1/T para mayor comodidad.  Vean que, cuando t=T solamente nos quedarán la mitad de los isótopos.  Por eso a T se le llama período de semidesintegración.  También podemos utilizar la función exponencial con base e y escribir:

N(t) = No * e^(-t/L)

donde L=T/Ln2 recibe el nombre de vida media.  Conociendo la vida media, midiendo la cantidad de isótopos que nos quedan, y sabiendo los que debería haber habido en t=0, podemos usar este procedimiento para fechar sustancias.  Eso es lo que se hace, por ejemplo, con la prueba del carbono-14.

En el caso del decrecimiento exponencial, la función tiende hacia cero como loca, aunque nunca llega exactamente a cero.  Si dejamos pasar un tiempo igual a veinte períodos de desintegración, la cantidad de materia radiactiva habrá disminuido hasta una millonésima parte (en realidad, 1/1048576ava parte) de la cantidad inicial.

Vamos a volver a algo que el gobierno nos está vendiendo como agua de mayo para la recuperación: el crecimiento.  Los 100.000.000.000 € que le acaban de prestar a don Mariano nos vendrán de perlas como ejemplo de crecimiento exponencial.  Aún no se saben los detalles exactos, pero digamos que la UE nos va a cobrar un interés del 3% anual.  Eso significa que, al cabo del primer año, tendremos que pagar tres mil millones de euros en concepto de intereses, algo así como cien euros por segundo.  No está mal para comenzar a deprimirnos, ¿verdad?

Ahora bien, digamos que doña Angela llama a don Mariano y le dice que el pago de intereses es semestral: un 1,5% el primer semestre y otro 1,5% el segundo.  Y se trata de interés compuesto.  Eso significa que, en el primer semestre, hay que pagar intereses por el capital, pero en el segundo semestre hay que pagar intereses por el capital e intereses por los intereses.  De ese modo, el primer semestre los intereses que debemos serán el 1,5% de intereses de cien mil millones, es decir, 1.500.000.000 €.  Ahora debemos 101.500.000.000 €. En el segundo semestre, por tanto, los intereses se calculan sobre 101.500.000.000 €, y el 1,5% de esa cantidad es 1.522.500.000 €.  Con lo que el montante a pagar total es:

Capital:                                                         100.000.000.000 €

Intereses del capital (semestre 1):                1.500.000.000 €

Intereses del capital (semestre 2):                 1.522.500.000 €

TOTAL INTERESES:                                        3.022.500.000 €

TOTAL A PAGAR A DOÑA ANGELA:       103.022.500.000 €

Es decir, el mero hecho de pagar los intereses en dos plazos nos ha aumentado la deuda en 22.500.000 euros.  Ahora entenderán por qué los anglosajones dicen eso de el tiempo es dinero.  La ganancia depende literalmente no sólo de lo que cobres, sino de cuánto cobres. Pagar un 3% en dos pagos semestrales nos daría la misma cantidad en intereses que si hubiésemos hecho un solo pago anual a un tipo de interés del 3,0225%, cantidad a la que los banqueros llaman Tasa Anual Equivalente (TAE).  Es decir, la TAE es el interés que habría que pagar si hiciésemos los cálculos de intereses anuales.  Será mejor que nos digan pronto si el 3% es interés simple o TAE, porque nos jugamos unos cuantos millones.

Digamos que doña Angela le coge el truco, y decide que quiere el pago trimestral.  En ese caso, habrá que calcular intereses cuatro veces.  Este sería el resultado

Intereses (trimestre 1):    750.000.000 €

Intereses (trimestre 2):     755.625.000 €

Intereses (trimestre 3):      761.292.188 €

Intereses (trimestre 4):      767.001.879 €

TOTAL INTERESES:      3.033.919.066 €

Wunderbar! Ahora los intereses de doña Angela son casi 34 millones de euros más que en el caso de pago único a final de mes.  Sale ahora un TAE del 3,30919066%  En general, cuanto menor sea la periodicidad del cobro, tanto más se gana.  El motivo es que, como han visto, en cuanto el primer pago de intereses se contabiliza, se une al capital y generará intereses, intereses de los intereses, y así sucesivamente.

¿Hasta dónde podemos llevar esto?  Pues vamos a ver.  Supongamos plazos cada vez más pequeños, y apuntemos lo que va a ir saliendo.  Para no aburrir, pondré simplemente la cantidad total de intereses a pagar al final del año, según la periodicidad:

Pago anual:               3.000.000.000 €

Pago semestral:        3.022.500.000 €

Pago trimestral:        3.033.919.066 €

Pago mensual:           3.041.595.691 €

Pago diario:                3.045.326.360 €

Pago cada hora:         3.045.448.102 €

Pago cada minuto:     3.045.453.307 €

Pago cada segundo:    3.045.453.344 €

Como puede ver, cuanto mayor sea el número de veces que pagamos intereses, mayor es la cantidad total, pero el crecimiento se detiene.  Incluso pagando intereses cada microsegundo la cantidad apenas variaría unos euros.  Es el máximo que doña Angela nos puede cobrar.  Como ven, le sale un TAE instantáneo del 3,04545(y pico)%

¿Y cómo encaja esto con la función exponencial?  Bien, vamos a sistematizar.  Digamos que Co es el capital inicial, y que pagamos una tasa de interés i medido en tantos por uno (es decir, i=0.03 para un interés del 3%).  Si hacemos n pagos anuales, la cantidad total a pagar (capital + intereses) sería igual a:

Cf = Co * (1+i/n)^n

Y ahora viene lo divertido.  Cuando n (el número de pagos anuales) tiende a infinito, la cantidad (1+i/n)^n tiende a e^i.  Lo que significa que la fórmula de pago de intereses instantáneos (es decir, abonando intereses cada infinitésimo de segundo) anual sería igual a:

Cf = Co * e^i

en un año.  Si, por el contrario, tenemos un plazo de t años, el cálculo se haría así:

Cf = Co * e^(i*t)

En el caso del pago anual (i=0,03 y t=1), nos sale Cf = 103.045.453.395 €.  Es decir, los intereses instantáneos ascenderían a 3.045.453.395 €, casi igual que los 3.045.453.344 € de los intereses pagaderos cada segundo de antes.  De ese modo, la función exponencial nos indica la cantidad final a pagar cuando los intereses se abonan de forma instantánea.  La verdad, espero que nos aclaren rápido si el tipo de interés es nominal o TAE, porque nos jugamos unos cuantos millones.  Por no hablar de la comisión del cheque, que mejor no lo traigamos a colación.

Ahora vamos a ver qué pasa en períodos superiores a un año.  Imaginemos que don Mariano tiene cinco años de plazo para devolver los cien mil millones del ala.  Dependiendo del tipo de periodicidad que tenga en el contrato, podemos distinguir tres posibilidades:

1) Interés simple. En este caso, los intereses del primer año no generan intereses para el segundo año.  Es decir, cada año hay que pagar 3.000.000.000 €, lo que al término de los cinco años suman 15.000.000.000 €

2) Interés compuesto anual.  Podríamos adaptar la fórmula Cf = Co * (1+i/n)^n y convertirla en Cf = Co * (1+i)^t.  La idea sería similar a la del cálculo de intereses trimestrales.  El primer año debemos el 3% de 100.000.000.000 € en concepto de intereses; el segundo año, los intereses serán el 3% de 103.000.000.000 €.  Creo que van pillando la idea, pero no cuesta escribirlo, así que ahí va:

Intereses (año 1):         3.000.000.000 €

Intereses (año 2):         3.090.000.000 €

Intereses (año 3):           3.182.700.000 €

Intereses (año 4):            3.278.181.000 €

Intereses (año 5):            3.376.526.430 €

TOTAL INTERESES:    15.927.404.430 €

Como pueden ver, los intereses han subido casi mil millones respecto al caso de interés simple, hasta 15.927.404.430 €

3) Interés instantáneo.  El interés sería en este caso algo mayor, unos 16.183 millones de euros.

Los aficionados a la serie Futurama recordarán cómo el protagonista, que ha dormido mil años en una cámara de hibernación, se dirige a banco para recoger sus pocos dólares del saldo.  De repente, descubre que los intereses acumulados durante un milenio (¡y sin gastos ni comisiones!) lo han convertido en multimillonario.  Recuerdo una película de Walt Disney en la que los protagonistas, a punto de perder la granja por deudas, descubren de repente que el gobierno norteamericano les debe una cantidad de dinero a su familia desde tiempos de la Guerra Civil, y con los intereses de casi un siglo pagaron sus deudas.  No hay nada como el interés compuesto.  Como curiosidad, se cuenta la historia de cómo los indios americanos, al vender el terreno de la actual Nueva York por dos duros, hicieron un mal negocio, habida cuenta del valor inmobiliario que la Gran Manzana tiene hoy día; pero hagan cuentas y verán como el TAE que les sale no es tan maravilloso.

Finalmente, vamos a hacer un interesante ejercicio de ciencia-ficción.  Tanto don Mariano como doña Angela viven (y son reelegidos) durante siglos, y se llevan tan bien que han pactado el préstamo a cien años.  En ese caso, el interés simple serían esos tres mil millones anuales, multiplicados por cien años.  Total: 300.000.000.000 € en intereses.  Doña Angela debe estar contenta, porque ha cuadruplicado su capital (sumando los cien mil milloncejos del capital inicial).  Sí, ha tenido que esperar un siglo, pero todos sabemos lo pacientes que son esas gentes del norte.

Peeero … resulta que doña Angela no es tonta, y ha exigido interés compuesto.  Podríamos ir haciendo una tabla de intereses año tras año, pero también podemos hacerlo mejor.  Tomemos la fórmula Cf = Co * (1+i)^t.  Si i es una cantidad pequeña, esa fórmula es bastante similar a Cf = Co * e^(i*t).  Resulta que i=0,03 es algo que podemos, en primera aproximación, considerar una cifra pequeña.  Eso nos da una cantidad e^(0,03*100) = e^3 = 20.0855.  Multiplicando por el capital inicial (Co=100.000.000.000 €) obtenemos la cantidad total de intereses a abonar al final de los cien años del crédito:

Cf = 2.008.550.000.000 € 

Cuenten bien los ceros, señoras y señores: ¡más de dos billones de euros en intereses!  Y ojo, que como don Mariano se retrase un año más en el pago, le costará más de 60.000 millones de euros en intereses.

Así que no se alegre tanto, don Mariano, porque pedir prestado … no siempre es buena idea.