El Ministerio del Tiempo, Houdini y la probabilidad

MdT Houdini

De: Ministerio del Tiempo, División Técnica

A: Jefatura de Operaciones

Asunto: Exposición probabilística

Tras el análisis reglamentario post-mortem de la misión Houdini-Argamasilla, y a petición de los órganos competentes, esta División tiene a bien realizar la siguiente aclaración con relación a los aspectos matemáticos de la probabilidad.

En la susodicha misión, el agente Argamasilla tuvo que demostrar sus dotes de visión de rayos X mediante una prueba diseñada por el señor Houdini. Un total de cinco plumas fueron escondidas en diez cajas; la prueba consistía en descubrir cuáles eran las cajas con plumas.

Para hallar la probabilidad de que Argamasilla acierte por azar, hay que calcular p=n/N, donde n es el número de posibilidades favorables y N el número de posibilidades totales. Para que se entienda, he aquí un ejemplo: obténgase la probabilidad de que un dado saque un número impar. En este caso tenemos n=3 posibilidades favorables (1,3,5) para N=6 posibilidades totales (1,2,3,4,5,6), lo que nos da una probabilidad p=3/6=1/2, o un 50%

En el caso que nos ocupa, tenemos un total de X cajas y Z plumas. El número de posibilidades totales son todas las combinaciones de Z elementos de entre un total de X. La combinatoria nos da esa cantidad como X*(X-1)*(X-2)*…(Z+1)/Z! (donde Z! es el factorial de Z: Z!=Z*(Z-1)*…2*1). En el caso que nos ocupa X=10 y Z=5, con lo que tenemos 10*9*8*7*6/(5*4*3*2*1)=252 posibles combinaciones de cinco cajas escogidas de un total de diez.

De ellas, la única favorable es aquella en la que hemos escogido las cinco plumas. Eso nos da p=1/252, aproximadamente un 0,4% Esto es, la probabilidad de que Argamasilla acertase por azar las cinco cajas con plumas era del 0,4% No se trata de una cifra muy grande (la gente juega a la lotería con probabilidades de éxito mucho menores), así que realmente no demuestra nada, pero es una primera indicación.

En un intento por hacer creer a los periodistas norteamericanos que carece de poderes, Argamasilla falló deliberadamente en el intento. El problema consiste en que hizo todo lo contrario, ya que fallar las cinco cajas es tan improbable como acertar las cinco. El caso favorable cambia de “cinco plumas” a “cinco cajas vacías,” pero sigue siendo uno entre 252.

La transcripción de las conversaciones de la misión sugieren que Argamasilla era consciente de este detalle. Al fallar las cinco cajas quería dar a entender que no tenía poderes, pero Houdini es un buen matemático y captó de inmediato sus intenciones. Como el agente Pacino hizo notar, “se trata de fingir que no tiene poderes, si no adivina ninguna es como si lo hubiera hecho aposta.

Esta División Técnica no puede dejar de advertir acerca del riesgo de este proceder, ya que habría bastado con un periodista (o lector) que supiese matemáticas para dar traste con el engaño. Más eficaz de cara a la galería hubiera sido el proceder sugerido por Amelia: “cualquiera de nosotros adivinaría por estadística al menos la mitad de las cajas.

Esta afirmación puede demostrarse mediante combinatoria, pero resulta más sencillo usar el concepto de simetría. Sean p(0), p(1)… p(5) las probabilidades de acertar cero, uno, dos… cinco cajas con plumas. Como se ha argumentado anteriormente, p(0)=p(5). Por el mismo argumento que antes, la probabilidad de acertar una caja y fallar cuatro es la misma que la de acertar cuatro y fallar una, esto es, p(1)=p(4); y análogamente tendremos que p(2)=p(3). Con ello tenemos un resultado interesante: p(0)+p(1)+p(2)=p(3)+p(4)+p(5). Es decir, la probabilidad de acertar como mucho dos cajas es igual a la probabilidad de acertar tres o más ,un 50% en cada caso, en la línea sugerida por la señorita Folch.

Veamos ahora cuáles son esas probabilidades, comenzando con la de acertar cuatro y fallar una. Digamos que las cajas escogidas son las llamadas 1, 2, 3, 4 y 5. Hay cinco posibilidades de fallar (es decir, puede estar vacía la caja 1, la 2, la 3, la 4 o la 5), y para cada uno de esos casos hay cinco posibles cajas para la pluma que falta (la caja 6, la 7, la 8, la 9 y la 10). Así pues, el número de casos favorables es de 5*5, y la probabilidad p(1) es 25/252, un 9,9% La probabilidad p(4) será, como hemos visto ya, la misma.

Las probabilidades p(2) y p(3) pueden obtenerse de un modo más sencillo que mediante cálculo de combinatoria. Puesto que p(0)+p(1)+p(2)=0,5, y puesto que ya conocemos p(0) y p(1), no hay más que despejar y obtener p(2). Tenemos así la siguiente tabla, que nos da la probabilidad p(k) de acertar k cajas con pluma:

k 0 1 2 3 4 5
p(k) 0,4% 9,9% 39,7% 39,7% 9,9% 0,4%

Como pueden verse, las posibilidades más probables son acertar dos o tres cajas (casi el 40% en cada caso); las menos probables son acertar ninguna o todas las cajas (menos de la mitad de un uno por ciento en cada caso).

Houdini también fue cuidadoso a la hora de escoger el número de plumas. Su elección no es caprichosa, ya que es el valor que hace que el número de casos posibles sea máximo. Esa cantidad, indicada por la cantidad antes mencionada de X*(X-1)*(X-2)*…(Z+1)/Z!, es máxima cuando se da la relación X=2*Z. En nuestro caso, como X=10 se obtiene Z=5. Bien pensado, caballero.

En atención a lo anterior, esta División concluye que las sospechas de falta de base matemática atribuidas al equipo Argamasilla-Folch son infundadas. Con todo, conviene apercibir al señor Argamasilla para que sea algo más disimulado en sus futuras misiones. Todo buen mago sabe guardar sus trucos, y los matemáticos no son una excepción.

ACTUALIZACIÓN: El presente informe fue calculado de forma errónea en su primer borrador. Esta División Técnica agradece las correcciones del gabinete de matemáticas, en particular de los agentes calculadores señores @twalmar y @gaussianos. Pedimos disculpas por la confusión.

4 Comentarios

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KokiKoki

Las probabilidades están mal calculadas.
Para acertar las 5 plumas (o no acertar ninguna), la probabilidad sería de 1/252.
Una forma de obtenerlo (mediante probabilidades condicionadas) es:
La probabilidad de acertar la primera pluma es 5/10 (hay 5 plumas y 10 cajas en total)
La probabilidad de acertar la segunda pluma, sabiendo que ya hemos acertado la primera, es 4/9 (quedan 4 plumas y 9 cajas).
Las siguientes probabilidades serían análogamente 3/8, 2/7 y 1/6.
La probabilidad sería el producto de todas ellas: 5/10*4/9*3/8*2/7*1/6=1/252 aproximadamente 0,004, es decir, tenía un 0,4% de acertar todas (o ninguna).

Arturo Quirantes

Tienes razón, y no ees el único que me ha avisado. Acabo de meterles la bronca a los de la División Técnica y lo han corregido. Muchas gracias a todos.

DarylDaryl

Tranquilo que no habia riesgo de que “…habría bastado con un periodista (o lector) que supiese matemáticas para dar traste con el engaño” ya que la probabilidad de que se diera este evento era mucho menor que en el caso de las plumas y las cajas.

Por parte de los periodistas vemos el anumerismo constantemente. En malaprensa.com tenemos ejemplos varios. Respecto a los lectores, siempre hay un justo en Sodoma, pero es que es muy dificil desembozar las informaciones ya que hay un periodismo cansino que de cada 8 palabras 10 son adjetivos tetrasilabos que te sueltan antes de darte datos en los que mezclan churras con manzanas y no hay manera de enterarse que quieren decir.

Ejemplos de esto hay a carretadas con solo visionar algunas de las numerosas tertulias que nos aplastan todos los dias pero volvamos a Houdini y al Ministerio. Hace años, en 2002, Anthony Blake hizo, en Antena 3, un programa donde logró adivinar cual iba a ser el número del gordo de navidad.

La reacción de cierta prensa fue penosa y dejó claro cual era el nivel de los periodistas: Que si engaño, que si hizo truco. que si estafó. Hasta en un alarde de periodismo de “imbestigación” decian que el “truco” era un enano escondido en la peana. ¿Con periodistas como esos se preocuparia Houdini?. Ni de coña.

Por cierto, el programa de 2002 estaba presentado por Mar Saura, la breve jefa del Ministerio en 2016 ¡y estaba igual!. Al final resultará que el dichoso Ministerio existe de verdad y que la tardanza en formar nuevo gobierno es por la pelea para controlarlo.

J.DiazJ.Diaz

A mi, sera mi ignorancia, lo que me crugio fue lo de «hombre con rayos X en los ojos», es cierto que Rontgen habia obtenido el nobel en 1.901, pero me da la sensacion que esta tecnologia no era tan popular en la españa de 1.924 como para ir hablando de esto en tono populista.
Pese a ha hacerlo en presencia de don Ramon y don Ramon.

¿Alguien prodria aclararme si efectivamente lso rayos X estaban tan extendidos entonces?

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